Hehe, na notatkach kartka “algebra wykłady”, a ja widzę napis “algebra zagłady”.

Jak zdać egzamin z algebry liniowej z geometrią na trzecim semestrze? Ściąga to podstawa (patrz metody numeryczne dla opornych). A w niej:

• macierze
  • sposób na mnożenie
  • sposób na szybki wyznacznik macierzy 2×2
  • rząd macierzy — stopień macierzy jednostkowej będącej jej blokiem
  • rząd macierzy, kiedy detA ≠ 0
  • osobliwość, kiedy detA = 0 (nie ma odwrotnej)
• • wektory
  • ortogonalne ⊥ a o b = 0
  • ortonormalne ⊥ ||a|| = ||b|| = 1
  • liniowo zależne, kiedy detA = 0
  • wynikiem mnożenia wektora i wektora transponowanego jest macierz (fajna pułapka ;)
  • norma, czyli ||x|| = √ x o x
  • ||a|| = √ a₁² + a₂² + a₃²
  • ||p1p2|| = √ (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²
• • układy równań
  • rzA ≠ rzDoł (sprzeczny)
  • rzA = rzDoł = n → jedno rozwiązanie
  • rzA = rzDoł ∧ rz < n → ∞ rozwiązań zależnych od n-rz parametrów
  • n = r ∧ detA ≠ 0 → układ Cramera → jedno rozwiązanie
• • liczby zespolone
  • i² = −1
  • z = a + bi
  • z‾ =  a − bi
  • (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
  • i^4k = 1
  • i^4k+1 = i
  • i^4k+2 = −1
  • i^4k+3 = −i
  • |z| = √ a² + b²
  • cosφ = a/|z|
  • sinφ = b/|z|
  • z = |z| * (cosφ + i * sinφ)
  • sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2 = 1/√2
• • punkty na płaszczyźnie

  • x − x0	y − y0	z − z0
    x1 − x0	y1 − y0	z1 − z0	= 0
    x2 − x0	y2 − y0	z2 − z0

  • ^→AB ⊥ ^→AD  ⇔ AB o AD = 0
  • ^→AB = [b₁ − a₁, b₂ − a₂, b₃ − a₃]
  • wzór na współliniowość
• • płaszczyzny i proste
  • π1 ⊥ π2 ↔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
  • π1 ||  π2 ↔ A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 ↔ rz[ ] = 1 (pokrywają się, jeśli jeszcze D1/D2)
  • l ⊥ π ↔ a/A = b/B = c/C
  • l ||  π ↔ aA + bB + cC = 0
• • ciała
  • element naturalny ∃e ∈ G   ∀x ∈ G    e o x = x o e = x
  • przemienność ∀x,y ∈ G   x o y = y o x

Poza tym najpóźniej w szóstym module należy żądać testów/zadań próbnych (i je roztrzaskiwać). W połowie kursu jest zjazd — niech egzaminator na wykładzie nie nudzi, tylko pokaże, jakie będą jego zadania i jak do nich podchodzić.